Kļūda.

Veicot eksperimentus, mēs nosakām kādu lielumu, kas mums interesē. Fakts ir tāds, ka nekad dabā nevar neko precīzi izmērīt, jo nav tādu mēraparātu un mērīšanas metožu, līdz ar to, mums veicot eksperimentus un veicot mērījumus, rodas kļūda, kuru var noteikt dažādām metodēm.

Kļūdas iedala divās lielās kategorijās: sistemātiskās kļūdas un gadījumu kļūdas.

Sistemātiskās kļūdas rodas mēraparāt dēļ, jeb – mēraparāta apjoma un jutības dēļ. Mēraparāti ir dažādi, un to mērīšanas diapazoni un jutības arī ir dažādas, kas tomēr ietekmē mūsu mērīšanas precizitāti. Gadījuma kļūdas ir ārējie faktori, kas netīši ietekmē eksperimenta gaitā nosakāmos lielumus, piemēram, gaisa sasilšana, troksnis. Gadījuma kļūda ieviešās tad, ja tā ir īsu laiku mainīga, kas ietekmē paša eksperimenta gaitā eksperimeta norisi.

Apskatīsim, kā aprēķināt eksperimenta laikā iegūto mērījumu kļūdas.

Fizikālo lielumu mērīšanu var iedalīt 2 daļās: tiešā mērīšana un netiešā mērīšana. Tiešajā mērīšanā nosakāmo fizikālo lielumu mēs iegūstam uzreiz izmērot un tas tad arī mums ir iegūstamais rezultāts. Piemēram, ja mēs vēlamies noteikt kāda ķermeņa izmērus, tad mēs ņemam lineālu un nomēram tā izmērus un uzreiz esam ieguvuši rezultātu – tā ir tiešā mērīšana. Netiešajā mērīšanā mēs rezultātu iegustam to aprēķinot ar kādas formulas palīdzību. Piemēram, ja mēs vēlamies noteikt kāda ķermeņa tilpumu, tad mēs sākumā izmēram tā parametrus, kas būs tiešās mērīšanas gadījums, un tad, izmantojot kādu konkrētu formulu, aprēķinām tā tilpumu, kas jau ir netiešās mērīšanas gadījums.

Par noteikta fizikālā lieluma noteiktā mērījuma kļūdu parasti pieņem mēraparāta mazākās iedaļas vērtību. Piemēram, ja mēs ar lineālu mēram kādu garumu, tad lineāla mazākās iedaļas vērtība ir 1 mm. Mēs novērtējam, vai mēs ar savu aci izšķiram 1 mm vai 0,5 mm, jo no lineāla mēs spējam nolasīt, ka garuma atzīme atrodas starp mazāko iedaļu svītriņām, līdz ar to, mēs varam nomērīt ar precizitāti līdz 0,5 mm. Tāpat ir arī ar citiem mēraparātiem – ja mēs nosakām kādu fizikālo lielumu, tad par parastu kļūdu (precizitāti) mēs pieņemam mēraparāta mazākās iedaļas vērtību vai tādu vērtību, kādu mēs ar savu aci spējām izšķirt. Tomēr, arī no mūsu spējas izšķirt arī ir atkarīgs, cik precīzi mēs veiksim mērījumus.

Ir mēraparāti, kuriem līdzi nāk pases dati, piemēram, digitālie multimetri, kuros norādītas relatīvās kļūdas katram mērīšanas diapazonam, ja mēs ar multimetriem nosakām kādu elektrisko fizikālo lielumu. Piemēram, pases datos norādīts, ka mērot elektrisko spriegumu diapazonā 20V, relatīvā kļūda ir 1%; tas nozīmē, ka mēraparāta izšķiršana šajā diapazonā ir .

Tiešā mērīšana.

Apskatīsim piemēru tiešās mērīšanas gadījumā, kā noteikt eksperimenta laikā iegūtu mērījuma kļūdu. Piemēram, mēs vēlamies noteikt kāda ķermeņa gadumu. Mēs vairākas reizes mēram tā garumu un katru reizi esam ieguvuši attiecīgus datus: 125 mm, 124 mm, 120 mm, 123, mm, 122 mm, 123 mm. Kā redzam, tad esam ieguvuši dažādus ķermeņa garumus, tāpēc mēs uzreiz nevaram pateikt, kurš iegūtais mērījuma rezultāts ir īstais. Tāpēc mēs parasti kā rezultātu ņema visu mērijumu vidējo vērtību, klāt pierēķinot kļūdu, kas nosaka, kādās robežās atrodas īstā vērtība. Šajā gadījumā vidējā vērtība: .

Tātad, šī nav ītais ķermeņa izmērs, bet vidējais no visiem mērījumiem, kuru pieņemam par šī ķermeņa garumu. Tā kā ir mērījumu rezultātu izkliede, tad rēķināt kļūdu – absolūto kļūdu, kas raksturo diapazonu, kurā atrodas iespējamais īstais ķermeņa garums.

Lai aprēķinātu tiešās mērīšanas gadījumā absolūto kļūdu, tad rīkojas šādi ....

Veidojam tabulu (tabula 1), kurā sākumā mēs ierakstām iegūtos rezultātus. Tad no vidējās vērtības atņemam katra merījuma reultātu un iegūstam gadījuma novirzi: , kur l_i – kata mērījuma rezultāts. Tad mēs šīs gadījuma novirzes kāpinām kvadrātā un summējam – gdaījumu noviržu kvadrātu summa: . Lai aprēķinātu absolūto kļūdu, izmantojam formulu , kur t(β) – Stjūdenta koeficients (tabula 2). Tādā veidā mēs esam aprēķinājuši mērijumu rezultāta kļūdu. Vēl mēs varam uzdot arī relatīvo kļūdu, kas ir absolūtās kļūdas un vidējās vērtības attiecība izteikta procentos: . Relatīvās kļūdas vērtībai vajadzētu būt zem 10%, kas atbilst normāli veita eksperimenta rezultātam.

Stjūdenta koeficientu izvēlas attiecīgi pēc mērījumu skaita un nepieciešamās varbūtības, kā mēs gribam, lai īstā vērtība atrastos šajā diapazonā. Ja izvēlamies ticamības varbūtību 95%, tad tas nozīmē, ka no 100 veiktajiem mērījumiem 95 gadījumos rezultāts būs attiecīgajā rezultāta diapazonā.

Tabula1. Veiktie mērījumi un aprēķini.

Tādā veidā mēs esam noteikuši mērāmā ķermeņa garumu un absolūto kļūdu. Rezultātu pierakstam šādi: .

Tātad, mēs esam ieguvuši, ka īstais ķermeņa garums atrodas robežās [121;124,6].

Tabula 2. Stjūdenta koeficients.

Netiešā mērīšana.

Netiešajā mērīšanā rezultāts tiek iegūts ar kādas formulas palīdzību, bet katrs cits lielums, kas tiek izmantots, lai šo rezultātu iegūtu, tiek nomērīts atsevišķi un viņiem arī ir kāda kļūda, kas kopā summējās un veido galarezultātam kopējo kļūdu.

Ir vairākas metodes, kā aprēķināt (noteikt) rezultāta kļūdu, ja rezultātu aprēķinam pēc formulas, bet formulā ietilpstošos lielumus mēs nomērām.

Kļūdu, kas rodas kāda fizikāla lieluma mērīšanā, sauc par tā parciālkļūdām. Netiešajos mērījumos šīs parciālkļūdas tiek noteiktas un summētas. Ir vairākas metodes, kā šīs parciālkļūdas noteikt.

Ievietošanas paņēmiens.

Ievietošanas paņēmiens ir visvienkāršākais no metodēm, kā aprēķināt rezultāta kļūdu. Parciālkļūdas mēs varam noteikt: , kur  - rezultāta vērtība, ja ņemam vērā viena fizikālā lieluma kļūdu, to pieskaitot pie attiecīgā fizikālā lieluma, bet pārējie paliek konstanti (kļūdu neieviešs),  - attiecīgā fizikālā lieluma parciālkļūda.

Ja mums ir zināmas parciālkļūdas, kuras izraisa katrs fizikālais lielums, kuru mēs nomērām, lai pēc formulas vēlāk aprēķinātu mums nepieciešamo fizikālo lielumu, tad mēs šim fizikālajam lielumam varam noteikt tā absolūto kļūdu (parciālo kļūdu saskaitīšana): .

Piemērs:

Mums būtu jānosaka paralēlskaldņa tilpums, nomērot tā garumu a, platumu b un augstumu c. Pieņemsim, ka mērījumu laikā esam ieguvuši šādus rezultātus:

Paralēlskaldņa tilpumu aprēķinām: .

Tagad mums jānosaka tilpuma kļūda, kuru esam mērīšanas laikā ieguvuši. Vispirms mēs aprēķinam katra – garuma, platuma, augstuma – parciālās kļūdas, kuras tie rada:

Tad mēs varam aprēķināt pēc parciālo kļūdu saskaitīšanas tilpuma V absolūto (kopējo) kļūdu, kādu esam ieguvuši:

Līdz ar to mēs esam aprēķinājuši gan paralēlskaldņa tilpumu V, gan noteikuši mērījuma laikā iegūto kļūdu ΔV; mēs vēl varam arī aprēķināt relatīvo kļūdu.

Pierakstām rezultātu: .

Parciālā atvasināšana. (jāprot atvasināt)

Lai noteiktu parciālās kļūdas, var izmantot arī parciālo atvasināšanu, kas izskatās formā , kur  - attiecīgā fizikālā lieluma parciālkļūda,  - attiecīgais fizikālais lielums. Šis parciālais atvasinājums rāda, par cik pieaug lielums y, ja x_i pieaug par vienu vienību.

Piemērs:

Ņemsim jau iepriekš aplūkotu gadījumu.

Kā redzam, tad parciālo kļūdu vērtības sakrīt ar ievietošanas paņēmiena parciālo kļūdu vērtībām. Tālāk mēs arī izmantojam parciālo kļūdu saskaitīšanu, lai iegūtu tilpuma absolūto kļūdu: .